📚 TÓM TẮT KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
1. Hàm số Mũ và Lôgarit (Chương 6)
- Tính chất Lôgarit: $\log_a(bc) = \log_a b + \log_a c$; $\log_a b^n = n\log_a b$.
- Phương trình cơ bản: $a^x = b \Leftrightarrow x = \log_a b$; $\log_a x = b \Leftrightarrow x = a^b$.
2. Đạo hàm (Chương 7)
- Quy tắc tính: $(u \cdot v)' = u'v + uv'$; $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.
- Ý nghĩa hình học: $f'(x_0)$ là hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm $M(x_0, y_0)$. Phương trình tiếp tuyến: $y = f'(x_0)(x - x_0) + y_0$.
3. Quan hệ vuông góc (Chương 8)
- Đường thẳng vuông góc mp: $d \perp (P)$ nếu $d$ vuông góc với 2 đường thẳng cắt nhau trong $(P)$.
- Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa đường thẳng đó và hình chiếu của nó trên mặt phẳng.
PHẦN 1. TRẮC NGHIỆM NHIỀU LỰA CHỌN (12 CÂU)
(Mỗi câu đúng được 0.25 điểm)
Câu 1: Rút gọn biểu thức $P = x^{\frac{1}{3}} \cdot \sqrt[6]{x}$ (với $x > 0$).
Chuyển căn về lũy thừa $\sqrt[n]{x} = x^{\frac{1}{n}}$ rồi áp dụng $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$.
Giải thích: $P = x^{\frac{1}{3}} \cdot x^{\frac{1}{6}} = x^{\frac{1}{3} + \frac{1}{6}} = x^{\frac{1}{2}}$. Đáp án A.
Câu 2: Tính giá trị biểu thức $P = \log_a(a^3)$ với $a>0, a \neq 1$.
Giải thích: $\log_a(a^n) = n$. Vậy $\log_a(a^3) = 3$. Đáp án B.
Câu 3: Tập xác định của hàm số $y = \log_3(x-2)$ là:
Giải thích: Điều kiện: $x - 2 > 0 \Leftrightarrow x > 2$. Tập xác định là $(2; +\infty)$. Đáp án A.
Câu 4: Nghiệm của phương trình $2^{2x-1} = 8$ là:
Giải thích: $2^{2x-1} = 2^3 \Leftrightarrow 2x - 1 = 3 \Leftrightarrow 2x = 4 \Leftrightarrow x = 2$. Đáp án B.
Câu 5: Nghiệm của phương trình $\log_2(x+1) = 3$ là:
Giải thích: $\log_2(x+1) = 3 \Leftrightarrow x+1 = 2^3 \Leftrightarrow x+1 = 8 \Leftrightarrow x = 7$. Đáp án B.
Câu 6: Đạo hàm của hàm số $y = x^3 - 2x^2 + x - 5$ là:
Giải thích: Áp dụng công thức $(x^n)' = n x^{n-1}$. Ta có $y' = 3x^2 - 4x + 1$. Đáp án A.
Câu 7: Đạo hàm của hàm số $y = \sin(3x)$ là:
Giải thích: Áp dụng công thức $(\sin u)' = u' \cdot \cos u$. Ta có $y' = (3x)' \cdot \cos(3x) = 3\cos(3x)$. Đáp án B.
Câu 8: Tính đạo hàm của hàm số $f(x) = \frac{2x+1}{x-1}$ tại $x = 2$.
Công thức tính nhanh đạo hàm hàm phân thức bậc nhất: $\left(\frac{ax+b}{cx+d}\right)' = \frac{ad-bc}{(cx+d)^2}$.
Giải thích: $f'(x) = \frac{2(-1) - 1(1)}{(x-1)^2} = \frac{-3}{(x-1)^2}$. Tại $x=2 \Rightarrow f'(2) = \frac{-3}{1^2} = -3$. Đáp án B.
Câu 9: Khẳng định nào sau đây là đúng về đường thẳng vuông góc với mặt phẳng?
Giải thích: Định lý cơ bản: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng nếu nó vuông góc với 2 đường thẳng CẮT NHAU chứa trong mặt phẳng. Đáp án A.
Câu 10: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình chữ nhật, $SA \perp (ABCD)$. Đường thẳng $BC$ vuông góc với mặt phẳng nào sau đây?
Giải thích: Ta có $BC \perp AB$ (đáy là HCN) và $BC \perp SA$ (vì $SA \perp (ABCD)$). Suy ra $BC \perp (SAB)$. Đáp án A.
Câu 11: Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$. Góc giữa hai đường thẳng $AB$ và $B'C'$ bằng:
Giải thích: Ta có $B'C' \parallel BC$. Do đó góc giữa $AB$ và $B'C'$ chính là góc giữa $AB$ và $BC$. Vì $ABCD$ là hình vuông nên $\widehat{ABC} = 90^\circ$. Đáp án B.
Câu 12: Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA \perp (ABC)$. Hình chiếu vuông góc của đường thẳng $SB$ lên mặt phẳng $(ABC)$ là đường thẳng:
Giải thích: Hình chiếu của điểm $S$ trên $(ABC)$ là $A$. Hình chiếu của $B$ trên $(ABC)$ là chính nó. Vậy hình chiếu của $SB$ là $AB$. Đáp án C.
PHẦN 2. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG/SAI (4 CÂU)
(Barem Bộ GD: 1 ý đúng 0.1đ; 2 ý đúng 0.25đ; 3 ý đúng 0.5đ; 4 ý đúng 1.0đ)
Câu 13: Cho các hàm số và phương trình mũ, lôgarit:
| a) Hàm số $y = \left(\frac{2}{3}\right)^x$ đồng biến trên $\mathbb{R}$. | |
| b) Tập xác định của hàm số $y = \log_5(x^2+1)$ là $\mathbb{R}$. | |
| c) Đồ thị hàm số $y = e^x$ luôn nằm phía trên trục hoành. | |
| d) Phương trình $3^x = -3$ có duy nhất một nghiệm. |
Giải thích:
a) Sai, cơ số $a = \frac{2}{3} < 1$ nên hàm số nghịch biến.
b) Đúng, $x^2+1 > 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$.
c) Đúng, $e^x > 0$ với mọi $x$.
d) Sai, hàm số mũ luôn mang giá trị dương, nên phương trình vô nghiệm.
a) Sai, cơ số $a = \frac{2}{3} < 1$ nên hàm số nghịch biến.
b) Đúng, $x^2+1 > 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$.
c) Đúng, $e^x > 0$ với mọi $x$.
d) Sai, hàm số mũ luôn mang giá trị dương, nên phương trình vô nghiệm.
Câu 14: Cho hàm số $f(x) = \frac{x^3}{3} - 2x^2 + 3x + 1$.
| a) $f'(x) = x^2 - 4x + 3$. | |
| b) $f'(0) = 1$. | |
| c) Phương trình $f'(x) = 0$ có hai nghiệm phân biệt là $x=1$ và $x=3$. | |
| d) Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ $x=0$ song song với đường thẳng $y = 3x - 5$. |
Giải thích:
a) Đúng, đạo hàm chuẩn xác.
b) Sai, thay $x=0$ vào $f'(x)$ ta được $f'(0) = 3$.
c) Đúng, $x^2-4x+3=0 \Leftrightarrow x=1, x=3$.
d) Đúng, hệ số góc của tiếp tuyến tại $x=0$ là $k = f'(0) = 3$, bằng với hệ số góc của đường thẳng đã cho.
a) Đúng, đạo hàm chuẩn xác.
b) Sai, thay $x=0$ vào $f'(x)$ ta được $f'(0) = 3$.
c) Đúng, $x^2-4x+3=0 \Leftrightarrow x=1, x=3$.
d) Đúng, hệ số góc của tiếp tuyến tại $x=0$ là $k = f'(0) = 3$, bằng với hệ số góc của đường thẳng đã cho.
Câu 15: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông tâm $O$, cạnh bên $SA \perp (ABCD)$.
| a) $SA \perp BD$. | |
| b) $BD \perp (SAC)$. | |
| c) Hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SBC)$ vuông góc với nhau. | |
| d) Góc giữa đường thẳng $SC$ và mặt phẳng $(ABCD)$ là góc $\widehat{SCD}$. |
Giải thích:
a) Đúng, vì $SA \perp (ABCD)$ nên $SA$ vuông góc với mọi đường thẳng trong đáy.
b) Đúng, $BD \perp AC$ (hai đường chéo hv) và $BD \perp SA$, suy ra $BD \perp (SAC)$.
c) Đúng, do $BC \perp AB$ và $BC \perp SA \Rightarrow BC \perp (SAB)$. Mà $BC \subset (SBC) \Rightarrow (SBC) \perp (SAB)$.
d) Sai, hình chiếu của $SC$ lên $(ABCD)$ là $AC$. Góc là $\widehat{SCA}$.
a) Đúng, vì $SA \perp (ABCD)$ nên $SA$ vuông góc với mọi đường thẳng trong đáy.
b) Đúng, $BD \perp AC$ (hai đường chéo hv) và $BD \perp SA$, suy ra $BD \perp (SAC)$.
c) Đúng, do $BC \perp AB$ và $BC \perp SA \Rightarrow BC \perp (SAB)$. Mà $BC \subset (SBC) \Rightarrow (SBC) \perp (SAB)$.
d) Sai, hình chiếu của $SC$ lên $(ABCD)$ là $AC$. Góc là $\widehat{SCA}$.
Câu 16: Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có tất cả các cạnh bằng $a$. Gọi $O$ là tâm của đáy.
| a) $SO \perp (ABCD)$. | |
| b) Đáy $ABCD$ là hình chữ nhật nhưng không phải là hình vuông. | |
| c) Tam giác $SAC$ là tam giác vuông tại $S$. | |
| d) Số đo góc giữa cạnh bên $SA$ và mặt đáy $(ABCD)$ bằng $45^\circ$. |
Giải thích:
a) Đúng, tính chất cơ bản của hình chóp đa giác đều.
b) Sai, đáy hình chóp tứ giác đều chắc chắn là hình vuông.
c) Đúng, $AC = a\sqrt{2}$ (đường chéo hình vuông). Ta có $SA^2+SC^2 = a^2+a^2 = 2a^2 = AC^2$, tam giác vuông tại S.
d) Đúng, $\cos \widehat{SAO} = \frac{AO}{SA} = \frac{a\sqrt{2}/2}{a} = \frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow \widehat{SAO} = 45^\circ$.
a) Đúng, tính chất cơ bản của hình chóp đa giác đều.
b) Sai, đáy hình chóp tứ giác đều chắc chắn là hình vuông.
c) Đúng, $AC = a\sqrt{2}$ (đường chéo hình vuông). Ta có $SA^2+SC^2 = a^2+a^2 = 2a^2 = AC^2$, tam giác vuông tại S.
d) Đúng, $\cos \widehat{SAO} = \frac{AO}{SA} = \frac{a\sqrt{2}/2}{a} = \frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow \widehat{SAO} = 45^\circ$.
PHẦN 3. TRẢ LỜI NGẮN (4 CÂU)
(Mỗi câu đúng được 0.75 điểm. Chỉ điền kết quả dạng số)
Câu 17: Một người gửi tiết kiệm 50 triệu đồng vào ngân hàng với lãi suất 6%/năm theo hình thức lãi kép. Hỏi sau đúng 3 năm, người đó nhận được tổng số tiền cả gốc và lãi là bao nhiêu triệu đồng? (Làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).
Công thức lãi kép: $A = P(1+r)^n$.
Giải thích: $A = 50 \times (1 + 0.06)^3 \approx 59.55$ triệu đồng. Đáp án: 59.55
Câu 18: Một vật chuyển động thẳng có phương trình $s(t) = t^3 - 3t^2 + 5t + 2$, trong đó $t$ tính bằng giây (s) và $s$ tính bằng mét (m). Tính vận tốc của vật tại thời điểm $t = 3$ (s).
Vận tốc tức thời chính là đạo hàm bậc nhất của phương trình chuyển động: $v(t) = s'(t)$.
Giải thích: $v(t) = s'(t) = 3t^2 - 6t + 5$. Tại $t=3$, $v(3) = 3(3^2) - 6(3) + 5 = 27 - 18 + 5 = 14$ m/s. Đáp án: 14
Câu 19: Cho hàm số $f(x) = (x^2+1)^4$. Tính giá trị của $f'(1)$.
Giải thích: Áp dụng công thức hàm hợp: $f'(x) = 4(x^2+1)^3 \cdot (x^2+1)' = 4(x^2+1)^3 \cdot 2x = 8x(x^2+1)^3$. Thay $x=1 \Rightarrow 8(1)(2^3) = 64$. Đáp án: 64
Câu 20: Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ có cạnh bằng 10. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng $(ABCD)$ và $(A'B'C'D')$ bằng bao nhiêu?
Giải thích: Hai mặt phẳng đáy của hình lập phương song song với nhau. Khoảng cách giữa chúng chính là độ dài cạnh bên của hình lập phương (bằng 10). Đáp án: 10