STEMHUB EDTECH

Đề Tổng Hợp: Nguyên Hàm, Tích Phân & Hình Không Gian Oxyz

PHẦN I: TRẮC NGHIỆM ĐƠN (18 Câu)

Câu 1: Họ nguyên hàm của hàm số $f(x) = 3x^2 + 2x$ là:

Gợi ý: Sử dụng công thức $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$.
Giải: $\int (3x^2 + 2x) dx = x^3 + x^2 + C$. Đáp án A.

Câu 2: Trong không gian Oxyz, mặt phẳng $(P): 2x - 3y + z - 5 = 0$ có một vectơ pháp tuyến là:

Gợi ý: Mặt phẳng $Ax+By+Cz+D=0$ có VTPT là $\vec{n} = (A,B,C)$ hoặc các vectơ tỉ lệ với nó.
Giải: VTPT ban đầu $(2, -3, 1)$. Đổi dấu toàn bộ ta được $(-2, 3, -1)$. Đáp án B.

Câu 3: Cho $\int_0^2 f(x)dx = 3$ và $\int_0^2 g(x)dx = -1$. Khi đó $\int_0^2 [2f(x) - g(x)]dx$ bằng:

Gợi ý: Tách tích phân thành $2\int f(x) - \int g(x)$.
Giải: $2(3) - (-1) = 7$. Đáp án B.

Câu 4: Mặt phẳng $(P)$ đi qua $A(1, 0, -2)$ và nhận $\vec{n} = (1, -1, 2)$ làm VTPT có phương trình:

Gợi ý: Thay vào pt: $A(x-x_0) + B(y-y_0) + C(z-z_0) = 0$.
Giải: $1(x-1) - 1(y-0) + 2(z+2) = 0 \Leftrightarrow x-y+2z+3=0$. Đáp án A.

Câu 5: Tính nguyên hàm $\int x e^x dx$ ta được:

Gợi ý: Dùng nguyên hàm từng phần, đặt $u = x, dv = e^x dx$.
Giải: $u=x \Rightarrow du=dx$; $v=e^x \Rightarrow \int = xe^x - \int e^x dx = e^x(x-1) + C$. Đáp án C.

Câu 6: Khoảng cách từ gốc tọa độ $O$ đến mặt phẳng $(\alpha): x + 2y - 2z - 6 = 0$ bằng:

Gợi ý: $d(O, \alpha) = \frac{|D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$. Gốc tọa độ O(0,0,0).
Giải: $d = \frac{|-6|}{\sqrt{1^2+2^2+(-2)^2}} = \frac{6}{3} = 2$. Đáp án B.

Câu 7: Bằng cách đặt $u = \ln x$, tích phân $\int_1^e \frac{\ln x}{x} dx$ trở thành:

Gợi ý: Tính vi phân $du = \frac{1}{x}dx$. Nhớ đổi cận tương ứng với $x=1$ và $x=e$.
Giải: Đổi cận: $x=1 \Rightarrow u=0$; $x=e \Rightarrow u=1$. Tích phân thành $\int_0^1 u du$. Đáp án A.

Câu 8: Phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm $A(2,0,0), B(0,-1,0), C(0,0,3)$ là:

Gợi ý: 3 điểm nằm trên 3 trục tọa độ $\Rightarrow$ dùng phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn.
Giải: Phương trình: $\frac{x}{2} + \frac{y}{-1} + \frac{z}{3} = 1$. Quy đồng mẫu 6 ta được $3x - 6y + 2z - 6 = 0$. Đáp án A.

Câu 9 (Thực tế): Một vật chuyển động với vận tốc $v(t) = 3t^2 + 2$ (m/s). Quãng đường vật đi được trong 3 giây đầu là:

Gợi ý: Quãng đường là tích phân của vận tốc $S = \int_0^3 v(t)dt$.
Giải: $S = \int_0^3 (3t^2+2)dt = (t^3 + 2t)\Big|_0^3 = 27 + 6 = 33$. Đáp án B.

Câu 10 (Thực tế): Kỹ sư thiết kế mái tôn phẳng qua $A(0,0,3), B(4,0,3), C(0,3,5)$. Cosin góc nghiêng của mái so với mặt đất (Oxy) là:

Gợi ý: Tính VTPT của mái tôn $\vec{n} = [\vec{AB}, \vec{AC}]$. Mặt đất (Oxy) có VTPT $\vec{k} = (0,0,1)$. Dùng công thức góc giữa 2 vectơ.
Giải: $\vec{AB}=(4,0,0), \vec{AC}=(0,3,2) \Rightarrow \vec{n} = (0, -8, 12)$ rút gọn $(0, -2, 3)$. $\cos \varphi = \frac{|3|}{\sqrt{0+4+9}\times 1} = \frac{3}{\sqrt{13}}$. Đáp án B.

Câu 11: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $y = x^2 - 4x + 3$ và trục hoành bằng:

Gợi ý: Tìm nghiệm pt $x^2 - 4x + 3 = 0$ để làm cận tích phân. Diện tích có chứa dấu trị tuyệt đối.
Giải: Nghiệm là 1 và 3. $S = \int_1^3 |x^2-4x+3|dx = | (\frac{x^3}{3} - 2x^2 + 3x)|_1^3 | = \frac{4}{3}$. Đáp án A.

Câu 12: Viết phương trình mặt phẳng $(P)$ song song $(Q): x + 2y - 2z + 1 = 0$ và cách $M(1, -2, 1)$ một khoảng bằng 3.

Gợi ý: Phương trình $(P)$ có dạng $x+2y-2z+D=0$. Thay vào công thức tính khoảng cách $d(M, P)=3$ để tìm $D$.
Giải: $\frac{|1 + 2(-2) - 2(1) + D|}{3} = 3 \Leftrightarrow |-5+D|=9 \Rightarrow D=14$ hoặc $D=-4$. Đáp án A.

Câu 13: Cho $\int_0^1 f(x)dx = 2$ và $\int_0^1 g(x)dx = 5$. Tính $\int_0^1 [2f(x) + 3g(x) - x]dx$.

Gợi ý: Phân tích thành $2\int f(x) + 3\int g(x) - \int x dx$.
Giải: $2(2) + 3(5) - \frac{x^2}{2}\Big|_0^1 = 4 + 15 - 0.5 = 18.5$. Đáp án B.

Câu 14 (Thực tế): Thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi $y = \sqrt{x}, x = 4, y=0$ quanh $Ox$:

Gợi ý: Công thức tính thể tích $V = \pi \int_0^4 y^2 dx$.
Giải: $V = \pi \int_0^4 (\sqrt{x})^2 dx = \pi \int_0^4 x dx = \pi \frac{16}{2} = 8\pi$. Đáp án A.

Câu 15 (Vận dụng cao): Cho hàm số $f(x)$ liên tục thỏa mãn $f(x) + f(-x) = x^2, \forall x \in \mathbb{R}$. Tính $\int_{-1}^1 f(x)dx$.

Gợi ý: Lấy tích phân 2 vế từ -1 đến 1. Chú ý tính chất $\int_{-a}^a f(-x)dx = \int_{-a}^a f(x)dx$.
Giải: Tích phân 2 vế: $\int_{-1}^1 f(x)dx + \int_{-1}^1 f(-x)dx = \int_{-1}^1 x^2 dx$. Đổi biến suy ra $2I = \frac{2}{3} \Rightarrow I = \frac{1}{3}$. Đáp án C.

Câu 16 (VDC): Mặt phẳng $(P)$ chứa trục $Oz$ và cắt mặt cầu $(S): (x-1)^2 + (y-2)^2 + (z-3)^2 = 9$ theo đường tròn bán kính lớn nhất. Phương trình $(P)$ là:

Gợi ý: Cắt theo đường tròn lớn nhất nghĩa là mặt phẳng $(P)$ phải đi qua tâm $I(1,2,3)$ của mặt cầu.
Giải: Tâm $I(1,2,3)$. $(P)$ chứa $Oz \Rightarrow \vec{k}=(0,0,1)$ là VTCP. $\vec{OI}=(1,2,3)$ là VTCP. $\Rightarrow \vec{n} = [\vec{k}, \vec{OI}] = (-2, 1, 0) \sim (2,-1,0)$. Vậy pt là $2x-y=0$. Đáp án A.

Câu 17 (Thực tế): Cổng vòm parabol $y = -0.5x^2 + 2x$. Lắp kính cường lực 500k/m2. Chi phí là:

Gợi ý: Tìm diện tích cổng (giới hạn bởi Parabol và trục hoành), sau đó nhân với giá tiền.
Giải: Parabol cắt $Ox$ tại $x=0, x=4$. Diện tích $S = \int_0^4 (-0.5x^2 + 2x)dx = \frac{8}{3} (m^2)$. Chi phí: $\frac{8}{3} \times 500000 \approx 1.333.333$. Đáp án A.

Câu 18 (VDC): Phương trình mặt phẳng $(P)$ qua $A(1, 1, 1), B(3, 4, 5)$ sao cho khoảng cách từ $C(-1, 2, 4)$ lớn nhất có dạng $ax+by+cz+d=0$. Tỉ số $\frac{a}{b}$ là:

Gợi ý: Khoảng cách từ C đến (P) lớn nhất khi (P) vuông góc với mặt phẳng (ABC). Lúc này VTPT của (P) là tích có hướng của $\vec{AB}$ và $\vec{n}_{ABC}$.
Giải: VTPT của (P): $\vec{n} = [\vec{AB}, [\vec{AB}, \vec{AC}]] = (5, -1, -4)$. Suy ra $a=5, b=-1 \Rightarrow \frac{a}{b}=-5$. Đáp án A.
PHẦN II: TRẮC NGHIỆM ĐÚNG / SAI (4 CÂU)

Câu 19: Xét tính đúng sai của các mệnh đề tính chất tích phân:

Gợi ý: Tích phân không có tính chất tách của tích hai hàm. Hàm lẻ tích phân trên miền đối xứng bằng 0.
a) $\int [f(x) \pm g(x)]dx = \int f(x)dx \pm \int g(x)dx$.
b) $\int f(x) \cdot g(x) dx = \int f(x)dx \cdot \int g(x)dx$.
c) Nếu $\int_0^2 f(x)dx = 5$ thì $\int_2^0 f(x)dx = -5$.
d) $\int_{-a}^a f(x)dx$ luôn bằng 0 nếu $f(x)$ là hàm số lẻ.
Giải: a) Đúng, b) Sai, c) Đúng, d) Đúng.

Câu 20: Cho hai mặt phẳng $(P): 2x - y + 2z - 1 = 0$ và $(Q): 4x - 2y + 4z + 5 = 0$.

Gợi ý: Hai mặt phẳng có VTPT tỉ lệ thì chúng song song. Khoảng cách được tính bằng $\frac{|D - D'|}{\text{độ dài VTPT}}$.
a) Vectơ pháp tuyến của $(P)$ là $\vec{n} = (2, -1, 2)$.
b) Mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ vuông góc với nhau.
c) Điểm $M(0, -1, 0)$ thuộc mặt phẳng $(P)$.
d) Khoảng cách giữa $(P)$ và $(Q)$ bằng $\frac{7}{6}$.
Giải: b) Sai vì 2 mặt phẳng này song song. d) Đúng, chia (Q) cho 2 ta được $2x-y+2z+2.5=0$, $d = \frac{|-1 - 2.5|}{\sqrt{2^2+1^2+2^2}} = \frac{3.5}{3} = \frac{7}{6}$.

Câu 21 (Thực tế): Bồn chứa nước hình thành khi quay $y = \sqrt{4-x^2}$ quanh $Ox$.

Gợi ý: Đây là mặt cầu. Thể tích hình cầu là $\frac{4}{3}\pi R^3$. Tính thời gian = Thể tích / Vận tốc.
a) Đường cong là phương trình của nửa đường tròn $R=2$.
b) Công thức: $V = \int_{-2}^2 (4-x^2) dx$.
c) Thể tích thực tế là $\frac{32\pi}{3}$ khối.
d) Bơm với tốc độ $\pi$ (m3/p) thì 10 phút đầy bồn.
Giải: b) Sai vì thiếu nhân với $\pi$. d) Sai vì cần $\frac{32}{3} \approx 10.67$ phút mới đầy.

Câu 22: Xét mặt cầu $(S): x^2 + y^2 + z^2 - 2x + 4y - 4 = 0$.

Gợi ý: Tâm $I(-A, -B, -C)$ và $R = \sqrt{A^2+B^2+C^2-D}$. Bán kính giao tuyến $r = \sqrt{R^2 - d^2}$.
a) Tâm $I(1, -2, 0)$ và $R = 3$.
b) Mặt phẳng $(Oxy)$ đi qua tâm $I$.
c) $d(I, (P): x+2y-2z+6=0) = 1$.
d) Đường tròn giao tuyến giữa (P) và (S) có $r = 2\sqrt{2}$.
Giải: Tất cả đều đúng. b) Đúng vì cao độ của tâm $z=0$. d) Đúng vì $r = \sqrt{3^2 - 1^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.
PHẦN III: TRẢ LỜI NGẮN (6 CÂU)

Câu 23: Tính $I = \int_0^{\pi/2} \cos x \sin^2 x dx$.

Gợi ý: Đặt $u = \sin x \Rightarrow du = \cos x dx$. Đừng quên đổi cận.
Giải: Đổi cận $0 \rightarrow 1$. Tích phân thành $\int_0^1 u^2 du = \frac{1}{3}$. Đáp án: 1/3

Câu 24: (P) qua $A(1,2,-1)$, vuông góc d qua $M(2,0,1), N(0,-2,3)$. (P) có dạng $x+by+cz+d=0$. Tính $b+c+d$.

Gợi ý: VTPT của (P) chính là $\vec{MN}$. Lập PT (P) và chuẩn hóa hệ số x về 1 để tìm b, c, d.
Giải: $\vec{MN} = (-2, -2, 2)$ chọn $\vec{n} = (1, 1, -1)$. Pt: $x+y-z-4=0 \Rightarrow b=1, c=-1, d=-4$. Tổng = -4. Đáp án: -4

Câu 25: Nhà máy xả thải $v(t)=10+2t$ (m3/h). Tính lượng xả từ 8h đến 12h (từ t=0 đến t=4).

Gợi ý: Lượng xả là tích phân của $v(t)$ từ 0 đến 4.
Giải: $\int_0^4 (10+2t)dt = (10t + t^2) |_0^4 = 40 + 16 = 56$. Đáp án: 56

Câu 26: $f(1)=3, f(0)=1, \int_0^1 x f'(x) dx = 5$. Tính $\int_0^1 f(x) dx$.

Gợi ý: Dùng nguyên hàm từng phần, đặt $u = x, dv = f'(x)dx$.
Giải: $x f(x)|_0^1 - \int_0^1 f(x)dx = 5 \Leftrightarrow 1.f(1) - 0 - I = 5 \Leftrightarrow 3 - I = 5 \Rightarrow I = -2$. Đáp án: -2

Câu 27: Máy bay qua $A(3,4,0), B(0,0,5)$. (Q) // mp vuông góc quỹ đạo, (Q) đi qua $M(1,-1,2)$. Tìm hệ số tự do D của (Q): $-3x-4y+5z+D=0$.

Gợi ý: (Q) nhận $\vec{AB}$ làm VTPT. Thay tọa độ M vào phương trình tổng quát để tìm D.
Giải: Thay $M(1,-1,2)$ vào $-3(1)-4(-1)+5(2)+D=0 \Leftrightarrow -3+4+10+D=0 \Rightarrow D=-11$. Đáp án: -11

Câu 28 (VDC): (P) qua $M(1,2,3)$ cắt $Ox,Oy,Oz$ tại $A(a,0,0), B(0,b,0), C(0,0,c)$ (với $a,b,c>0$). Thể tích $OABC$ nhỏ nhất, tính độ dài $OA$.

Gợi ý: Viết PT đoạn chắn. Thay M vào có $\frac{1}{a} + \frac{2}{b} + \frac{3}{c} = 1$. Dùng BĐT AM-GM cho 3 số.
Giải: Áp dụng Cauchy cho $\frac{1}{a}, \frac{2}{b}, \frac{3}{c}$. Dấu = xảy ra khi $\frac{1}{a} = \frac{1}{3} \Rightarrow a=3$. Vậy $OA=3$. Đáp án: 3